Точка, как математическое понятие, не имеет размеров. Очевидно, если объект проецирования является нульмерным объектом, то говорить о его проецировании бессмысленно.
Рис.9 Рис.10
В геометрии под точкой целесообразно принимать физический объект, имеющий линейные измерения. Условно за точку можно принять шарик с бесконечно малым радиусом. При такой трактовке понятия точки можно говорить о ее проекциях.
При построении ортогональных проекций точки следует руководствоваться первым инвариантным свойством ортогонального проецирования: ортогональная проекция точки есть точка.
Положение точки в пространстве определяется тремя координатами: X, Y, Z, показывающие величины расстояний, на которые точка удалена от плоскостей проекций. Чтобы определить эти расстояния, достаточно определить точки встречи этих прямых с плоскостями проекций и измерить соответствующие величины, которые укажут соответственно значения абсциссы X , ординаты Y и аппликаты Z точки (рис. 10).
Проекцией точки является основание перпендикуляра, опущенного из точки на соответствующую плоскость проекций. Горизонтальной проекцией точки а называют прямоугольную проекцию точки на горизонтальной плоскости проекций, фронтальной проекцией а / – соответственно на фронтальной плоскости проекций и профильной а // – на профильной плоскости проекций.
Прямые Аа, Аa / и Аa // называются проецирующими прямыми. При этом прямую Аа, проецирующую точку А на горизонтальную плоскость проекций, называют горизонтально- проецирующей прямой, Аa / и Аa // - соответственно: фронтально и профильно-проецирущими прямыми.
Две проецирующие прямые, проходящие через точку А определяют плоскость, которую принято называть проецирующей.
При преобразовании пространственного макета, фронтальная проекция точки А – а / остается на месте, как принадлежащая плоскости, которая не менят своего положения при рассматриваемом преобразовании. Горизонтальная проекция – а вместе с горизонтальной плоскостью проекции повернется понаправлению движения часовой стрелки и расположится на одном перепендикуляре к оси Х с фронтальной проекцией. Профильная проекция - a // будет вращаться вместе с профильной плоскостью и к концу преобразования займет положение, указанное на рисунке 10. При этом - a // будет принадлежать перпендикуляру к оси Z , проведенному из точки а / и будет удалена от оси Z на такое же расстояние, на какое горизонтальная проекция а удалена от оси Х . Поэтому связь между горизонтально и профильной проекциями точки может быть установлена с помощью двух ортогональных отрезков аа y и а y a // и сопрягающей их дуги окружности с центром в точке пересечения осей (О – начало координат). Отмеченной связью пользуются для нахождения недостающей проекции (при двух заданных). Положение профильной (горизонтальной) проекции по заданным горизонтальной (профильной) и фронтальной проекциям может быть найдено с помощью прямой, проведенной под углом 45 0 из начала координат к оси Y (эту биссектрису называют прямой k – постоянной Монжа). Первый из указанных способов предпочтителен, как более точный.
Из этого следует:
1. Точка в пространстве удалена:
от горизонтальной плоскости H Z,
от фронтальной плоскости V на величину заданной координаты Y,
от профильной плоскости W на величину координаты.X.
2. Две проекции любой точки принадлежат одному перпендикуляру (одной линии связи):
горизонтальная и фронтальная – перпендикуляру к оси X,
горизонтальная и профильная – перпендикуляру к оси Y,
фронтальная и профильная – перпендикуляру к оси Z.
3. Положение точки в пространстве вполне определяется положением ее двух ортогональных проекций. Из этого следует – по двум любым заданным ортогональным проекциям точки всегда иожно построить недостающую ее третью проекцию.
Если точка имеет три определенные координаты, то такую точку называют точкой общего положения.
Если у точки одна или две координаты имеют нулевое значение, то такую точку называют точкой частного положения.
Рис. 11 Рис. 12
На рисунке 11 дан пространственный чертеж точек частного положения, на рисунке 12 – комплексных чертеж (эпюр) этих точек. Точка А принадлежит фронтальной плоскости проекций, точка В – горизонтальной плоскости проекций, точка С – профильной плоскости проекций и точка D – оси абсцисс (Х ).
Точка в пространстве определяется любыми двумя своими проекциями. При необходимости построения третьей проекции по двум заданным необходимо воспользоваться соответствием отрезков линий проекционной связи, полученных при определении расстояний от точки до плоскости проекций (см. рис. 2.27 и рис. 2.28).
Примеры решения задач в I октанте
| Дано А 1 ; А 2 | Построить А 3 |
 |
|
| Дано А 2 ; А 3 | Построить А 1 |
 |  |
| Дано А 1 ; А 3 | Построить А 2 |
 |  |
Рассмотрим алгоритм построения точки А (табл. 2.5)
Таблица 2.5
Алгоритм построения точки А
по заданным координатам А (x
= 5, y
= 20, z
= -9)
В следующих главах мы будем рассматривать образы: прямые и плоскости только в первой четверти. Хотя все рассматриваемые способы можно применить в любой четверти.
Выводы
Таким образом, на основании теории Г. Монжа, можно преобразовать пространственное изображение образа (точки) в плоскостное.
Эта теория основывается на следующих положениях:
1. Все пространство делится на 4 четверти с помощью двух взаимно перпендикулярных плоскостей p 1 и p 2 , либо на 8 октантов при добавлении третьей взаимно-перпендикулярной плоскости p 3 .
2. Изображение пространственного образа на эти плоскости получается с помощью прямоугольного (ортогонального) проецирования.
3. Для преобразования пространственного изображения в плоскостное считают, что плоскость p 2 – неподвижна, а плоскость p 1 вращается вокруг оси x так, что положительная полуплоскость p 1 совмещается с отрицательной полуплоскостью p 2 , отрицательная часть p 1 – с положительной частью p 2 .
4. Плоскость p 3 вращается вокруг оси z (линии пересечения плоскостей) до совмещения с плоскостью p 2 (см. рис. 2.31).
Изображения, получающиеся на плоскостях p 1 , p 2 и p 3 при прямоугольном проецировании образов, называются проекциями.
Плоскости p 1 , p 2 и p 3 вместе с изображенными на них проекциями, образуют плоскостной комплексный чертеж или эпюр.
Линии, соединяющие проекции образа ^ осям x , y , z , называются линиями проекционной связи.
Для более точного определения образов в пространстве может быть применена система трех взаимно перпендикулярных плоскостей p 1 , p 2 , p 3 .
В зависимости от условия задачи можно выбрать для изображения либо систему p 1 , p 2 , либо p 1 , p 2 , p 3 .
Систему плоскостей p 1 , p 2 , p 3 можно соединить с системой декартовых координат, что дает возможность задавать объекты не только графическим или (вербальным) образом, но и аналитическим (с помощью цифр).
Такой способ изображения образов, в частности точки, дает возможность решать такие позиционные задачи, как:
- расположение точки относительно плоскостей проекций (общее положение, принадлежность плоскости, оси);
- положение точки в четвертях (в какой четверти расположена точка);
- положение точек относительно друг друга, (выше, ниже, ближе, дальше относительно плоскостей проекций и зрителя);
- положение проекций точки относительно плоскостей проекций (равноудаление, ближе, дальше).
Метрические задачи:
- равноудаленность проекции от плоскостей проекций;
- отношение удаления проекции от плоскостей проекций (в 2–3 раза, больше, меньше);
- определение расстояния точки от плоскостей проекций (при введении системы координат).
Вопросы для самоанализа
1. Линией пересечения каких плоскостей является ось z ?
2. Линией пересечения каких плоскостей является ось y ?
3. Как располагается линия проекционной связи фронтальной и профильной проекции точки? Покажите.
4. Какими координатами определяется положение проекции точки: горизонтальной, фронтальной, профильной?
5. В какой четверти располагается точка F (10; –40; –20)? От какой плоскости проекций точка F удалена дальше всего?
6. Расстоянием от какой проекции до какой оси определяется удаление точки от плоскости p 1 ? Какой координатой точки является это расстояние?
Поверхности многогранников, как известно, ограничены плоскими фигурами. Следовательно, точки, заданные на поверхности многогранника хотя бы одной проекцией, являются в общем случае определенными точками. То же относится к поверхностям других геометрических тел: цилиндра, конуса, шара и тора, ограниченных кривыми поверхностями.
Условимся изображать видимые точки, лежащие на поверхности тела, кружками, невидимые точки — зачерненными кружками (точками); видимые линии будем изображать сплошными, а невидимые — штриховыми линиями.
Пусть задана горизонтальная проекция А 1 точки А, лежащей на поверхности прямой треугольной призмы (рис. 162, а).
TBegin-->TEnd-->
Как видно из чертежа, переднее и заднее основания призмы параллельны фронтальной плоскости проекций П 2 и проецируются на нее без искажения, нижняя боковая грань призмы параллельна горизонтальной плоскости проекций П 1 и также проецируется без искажения. Боковые ребра призмы являются фронтально-проецирующими прямыми, поэтому на фронтальную плоскость проекций П 2 они проецируются в виде точек.
Поскольку проекция А 1 . изображена светлым кружком, то точка А — видимая и, следовательно, находится на правой боковой грани призмы. Эта грань является фронтально-проецирующей плоскостью, и фронтальная проекция А2 точки должна совпадать с фронтальной проекцией плоскости, изобразившейся прямой линией.
Проведя постоянную прямую k 123, находим третью проекцию А 3 точки А. При проецировании на профильную плоскость проекций точка А будет невидимой, поэтому точка А 3 изображена зачерненным кружком. Задание точки фронтальной проекцией В 2 является неопределенным, так как оно не определяет расстояния точки В от переднего основания призмы.
Построим изометрическую проекцию призмы и точки А (рис. 162, б). Построение удобно начать с переднего основания призмы. Строим треугольник основания по размерам, взятым с комплексного чертежа; по оси у" откладываем размер ребра призмы. Аксонометрическое изображение А" точки А строим с помощью координатной ломаной, обведенной на обоих чертежах двойной тонкой линией.
Пусть задана фронтальная проекция С 2 точки С, лежащей на поверхности правильной четырехугольной пирамиды, заданной двумя основными проекциями (рис. 163, а). Требуется построить три проекции точки С.
Из фронтальной проекции видно, что вершина пирамиды находится выше квадратного основания пирамиды. При этом условии все четыре боковые грани будут видимыми при проецировании на горизонтальную плоскость проекций П 1 . При проецировании на фронтальную плоскость проекций П 2 видимой будет только передняя грань пирамиды. Поскольку проекция С 2 изображена на чертеже светлым кружком, то точка С видимая и принадлежит передней грани пирамиды. Для построения горизонтальной проекции С 1 проводим через точку С 2 вспомогательную прямую D 2 Е 2 , параллельную линии основания пирамиды. Находим ее горизонтальную проекцию D 1 E 1 и на ней точку С 1. При наличии третьей проекции пирамиды горизонтальную проекцию точки С 1 находим более просто: найдя профильную проекцию С 3 , по двум проекциям строим третью с помощью горизонтальной и горизонтально-вертикальной линий связи. Ход построения показан на чертеже стрелками.
TBegin-->
TEnd-->
Построим диметрическую проекцию пирамиды и точки С (рис. 163, б). Строим основание пирамиды; для этого через точку О", взятую на оси r", проводим оси х" и у"; по оси х" откладываем действительные размеры основания, а по оси у" — уменьшенные вдвое. Через полученные точки проводим прямые, параллельные осям х" и у". По оси z" откладываем высоту пирамиды; полученную точку соединяем с точками основания, учитывая видимость ребер. Для построения точки С пользуемся координатной ломаной, обведенной на чертежах двойной тонкой линией. Для проверки точности решения проводим через найденную точку С прямую D"E", параллельную оси х". Ее длина должна быть равна длине прямой D 2 E 2 (или D 1 E 1).
В этой статье мы найдем ответы на вопросы о том, как создать проекцию точки на плоскость и как определить координаты этой проекции. Опираться в теоретической части будем на понятие проецирования. Дадим определения терминам, сопроводим информацию иллюстрациями. Закрепим полученные знания при решении примеров.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Проецирование, виды проецирования
Для удобства рассмотрения пространственных фигур используют чертежи с изображением этих фигур.
Определение 1
Проекция фигуры на плоскость – чертеж пространственной фигуры.
Очевидно, что для построения проекции существует ряд используемых правил.
Определение 2
Проецирование – процесс построения чертежа пространственной фигуры на плоскости с использованием правил построения.
Плоскость проекции - это плоскость, в которой строится изображение.
Использование тех или иных правил определяет тип проецирования: центральное или параллельное .
Частным случаем параллельного проецирования является перпендикулярное проецирование или ортогональное: в геометрии в основном используют именно его. По этой причине в речи само прилагательное «перпендикулярное» часто опускают: в геометрии говорят просто «проекция фигуры» и подразумевают под этим построение проекции методом перпендикулярного проецирования. В частных случаях, конечно, может быть оговорено иное.
Отметим тот факт, что проекция фигуры на плоскость по сути есть проекция всех точек этой фигуры. Поэтому, чтобы иметь возможность изучать пространственную фигуру на чертеже, необходимо получить базовый навык проецировать точку на плоскость. О чем и будем говорить ниже.
Напомним, что чаще всего в геометрии, говоря о проекции на плоскость, имеют в виду применение перпендикулярной проекции.
Произведем построения, которые дадут нам возможность получить определение проекции точки на плоскость.
Допустим, задано трехмерное пространство, а в нем - плоскость α и точка М 1 , не принадлежащая плоскости α . Начертим через заданную точку М 1 прямую а перпендикулярно заданной плоскости α . Точку пересечения прямой a и плоскости α обозначим как H 1 , она по построению будет служить основанием перпендикуляра, опущенного из точки М 1 на плоскость α .
В случае, если задана точка М 2 , принадлежащая заданной плоскости α , то М 2 будет служить проекцией самой себя на плоскость α .
Определение 3
– это либо сама точка (если она принадлежит заданной плоскости), либо основание перпендикуляра, опущенного из заданной точки на заданную плоскость.
Нахождение координат проекции точки на плоскость, примеры
Пускай в трехмерном пространстве заданы: прямоугольная система координат O x y z , плоскость α , точка М 1 (x 1 , y 1 , z 1) . Необходимо найти координаты проекции точки М 1 на заданную плоскость.
Решение очевидным образом следует из данного выше определения проекции точки на плоскость.
Обозначим проекцию точки М 1 на плоскость α как Н 1 . Согласно определению, H 1 является точкой пересечения данной плоскости α и прямой a , проведенной через точку М 1 (перпендикулярной плоскости). Т.е. необходимые нам координаты проекции точки М 1 – это координаты точки пересечения прямой a и плоскости α .
Таким образом, для нахождения координат проекции точки на плоскость необходимо:
Получить уравнение плоскости α (в случае, если оно не задано). Здесь вам поможет статья о видах уравнений плоскости;
Определить уравнение прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной плоскости α (изучите тему об уравнении прямой, проходящей через заданную точку перпендикулярно к заданной плоскости);
Найти координаты точки пересечения прямой a и плоскости α (статья – нахождение координат точки пересечения плоскости и прямой). Полученные данные и будут являться нужными нам координатами проекции точки М 1 на плоскость α .
Рассмотрим теорию на практических примерах.
Пример 1
Определите координаты проекции точки М 1 (- 2 , 4 , 4) на плоскость 2 х – 3 y + z - 2 = 0 .
Решение
Как мы видим, уравнение плоскости нам задано, т.е. составлять его необходимости нет.
Запишем канонические уравнения прямой a , проходящей через точку М 1 и перпендикулярной заданной плоскости. В этих целях определим координаты направляющего вектора прямой a . Поскольку прямая а перпендикулярна заданной плоскости, то направляющий вектор прямой a – это нормальный вектор плоскости 2 х – 3 y + z - 2 = 0 . Таким образом, a → = (2 , - 3 , 1) – направляющий вектор прямой a .
Теперь составим канонические уравнения прямой в пространстве, проходящей через точку М 1 (- 2 , 4 , 4) и имеющей направляющий вектор a → = (2 , - 3 , 1) :
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1
Для нахождения искомых координат следующим шагом определим координаты точки пересечения прямой x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 и плоскости 2 х - 3 y + z - 2 = 0 . В этих целях переходим от канонических уравнений к уравнениям двух пересекающихся плоскостей:
x + 2 2 = y - 4 - 3 = z - 4 1 ⇔ - 3 · (x + 2) = 2 · (y - 4) 1 · (x + 2) = 2 · (z - 4) 1 · (y - 4) = - 3 · (z + 4) ⇔ 3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0
Составим систему уравнений:
3 x + 2 y - 2 = 0 x - 2 z + 10 = 0 2 x - 3 y + z - 2 = 0 ⇔ 3 x + 2 y = 2 x - 2 z = - 10 2 x - 3 y + z = 2
И решим ее, используя метод Крамера:
∆ = 3 2 0 1 0 - 2 2 - 3 1 = - 28 ∆ x = 2 2 0 - 10 0 - 2 2 - 3 1 = 0 ⇒ x = ∆ x ∆ = 0 - 28 = 0 ∆ y = 3 2 0 1 - 10 - 2 2 2 1 = - 28 ⇒ y = ∆ y ∆ = - 28 - 28 = 1 ∆ z = 3 2 2 1 0 - 10 2 - 3 2 = - 140 ⇒ z = ∆ z ∆ = - 140 - 28 = 5
Таким образом, искомые координаты заданной точки М 1 на заданную плоскость α будут: (0 , 1 , 5) .
Ответ: (0 , 1 , 5) .
Пример 2
В прямоугольной системе координат O x y z трехмерного пространства даны точки А (0 , 0 , 2) ; В (2 , - 1 , 0) ; С (4 , 1 , 1) и М 1 (-1, -2, 5). Необходимо найти координаты проекции М 1 на плоскость А В С
Решение
В первую очередь запишем уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки:
x - 0 y - 0 z - 0 2 - 0 - 1 - 0 0 - 2 4 - 0 1 - 0 1 - 2 = 0 ⇔ x y z - 2 2 - 1 - 2 4 1 - 1 = 0 ⇔ ⇔ 3 x - 6 y + 6 z - 12 = 0 ⇔ x - 2 y + 2 z - 4 = 0
Запишем параметрические уравнения прямой a , которая будет проходить через точку М 1 перпендикулярно плоскости А В С. Плоскость х – 2 y + 2 z – 4 = 0 имеет нормальный вектор с координатами (1 , - 2 , 2) , т.е. вектор a → = (1 , - 2 , 2) – направляющий вектор прямой a .
Теперь, имея координаты точки прямой М 1 и координаты направляющего вектора этой прямой, запишем параметрические уравнения прямой в пространстве:
Затем определим координаты точки пересечения плоскости х – 2 y + 2 z – 4 = 0 и прямой
x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ
Для этого в уравнение плоскости подставим:
x = - 1 + λ , y = - 2 - 2 · λ , z = 5 + 2 · λ
Теперь по параметрическим уравнениям x = - 1 + λ y = - 2 - 2 · λ z = 5 + 2 · λ найдем значения переменных x , y и z при λ = - 1: x = - 1 + (- 1) y = - 2 - 2 · (- 1) z = 5 + 2 · (- 1) ⇔ x = - 2 y = 0 z = 3
Таким образом, проекция точки М 1 на плоскость А В С будет иметь координаты (- 2 , 0 , 3) .
Ответ: (- 2 , 0 , 3) .
Отдельно остановимся на вопросе нахождения координат проекции точки на координатные плоскости и плоскости, которые параллельны координатным плоскостям.
Пусть задана точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) и координатные плоскости O x y , О x z и O y z . Координатами проекции этой точки на данные плоскости будут соответственно: (x 1 , y 1 , 0) , (x 1 , 0 , z 1) и (0 , y 1 , z 1) . Рассмотрим также плоскости, параллельные заданным координатным плоскостям:
C z + D = 0 ⇔ z = - D C , B y + D = 0 ⇔ y = - D B
И проекциями заданной точки М 1 на эти плоскости будут точки с координатами x 1 , y 1 , - D C , x 1 , - D B , z 1 и - D A , y 1 , z 1 .
Продемонстрируем, как был получен этот результат.
В качестве примера определим проекцию точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на плоскость A x + D = 0 . Остальные случаи – по аналогии.
Заданная плоскость параллельна координатной плоскости O y z и i → = (1 , 0 , 0) является ее нормальным вектором. Этот же вектор служит направляющим вектором прямой, перпендикулярной к плоскости O y z . Тогда параметрические уравнения прямой, проведенной через точку M 1 и перпендикулярной заданной плоскости, будут иметь вид:
x = x 1 + λ y = y 1 z = z 1
Найдем координаты точки пересечения этой прямой и заданной плоскости. Подставим сначала в уравнение А x + D = 0 равенства: x = x 1 + λ , y = y 1 , z = z 1 и получим: A · (x 1 + λ) + D = 0 ⇒ λ = - D A - x 1
Затем вычислим искомые координаты, используя параметрические уравнения прямой при λ = - D A - x 1:
x = x 1 + - D A - x 1 y = y 1 z = z 1 ⇔ x = - D A y = y 1 z = z 1
Т.е., проекцией точки М 1 (x 1 , y 1 , z 1) на плоскость будет являться точка с координатами - D A , y 1 , z 1 .
Пример 2
Необходимо определить координаты проекции точки М 1 (- 6 , 0 , 1 2) на координатную плоскость O x y и на плоскость 2 y - 3 = 0 .
Решение
Координатной плоскости O x y будет соответствовать неполное общее уравнение плоскости z = 0 . Проекция точки М 1 на плоскость z = 0 будет иметь координаты (- 6 , 0 , 0) .
Уравнение плоскости 2 y - 3 = 0 возможно записать как y = 3 2 2 . Теперь просто записать координаты проекции точки M 1 (- 6 , 0 , 1 2) на плоскость y = 3 2 2:
6 , 3 2 2 , 1 2
Ответ: (- 6 , 0 , 0) и - 6 , 3 2 2 , 1 2
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
Аппарат проецирования
Аппарат проецирования (рис. 1) включает в себя три плоскости проекций:
π 1 – горизонтальная плоскость проекций;
π 2 – фронтальная плоскость проекций;
π 3 – профильная плоскость проекций.
Плоскости проекций располагаются взаимно перпендикулярно (π 1 ^ π 2 ^ π 3 ), а их линии пересечения образуют оси:
Пересечение плоскостей π 1 и π 2 образуют ось 0Х (π 1 ∩ π 2 = 0Х );
Пересечение плоскостей π 1 и π 3 образуют ось 0Y (π 1 ∩ π 3 = 0Y );
Пересечение плоскостей π 2 и π 3 образуют ось 0Z (π 2 ∩ π 3 = 0Z ).
Точка пересечения осей (ОХ∩OY∩OZ=0), считается точкой начала отсчета (точка 0).
Так как плоскости и оси взаимно перпендикулярны, то такой аппарат аналогичен декартовой системе координат.
Плоскости проекций все пространство делят на восемь октантов (на рис. 1 они обозначены римскими цифрами). Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I -ом октанте.
Проецирование ортогональное с центрами проецирования S 1 , S 2 и S 3 соответственно для горизонтальной, фронтальной и профильной плоскостей проекций.
А .
Из центров проецирования S 1 , S 2 и S 3 выходят проецирующие лучи l 1 , l 2 и l 3 А
- А 1 А ;
- А 2 – фронтальная проекция точки А ;
- А 3 – профильная проекция точки А .
Точка в пространстве характеризуется своими координатами A (x,y,z ). Точки A x , A y и A z соответственно на осях 0X , 0Y и 0Z показывают координаты x, y и z точки А . На рис. 1 даны все необходимые обозначения и показаны связи между точкой А пространства, её проекциями и координатами.
Эпюр точки
Чтобы получить эпюр точки А (рис. 2), в аппарате проецирования (рис. 1) плоскость π 1 А 1 0Х π 2 . Затем плоскость π 3 с проекцией точки А 3 , вращают против часовой стрелки вокруг оси 0Z , до совмещения её с плоскостью π 2 . Направление поворотов плоскостей π 2 и π 3 показано на рис. 1 стрелками. При этом прямые А 1 А х и А 2 А х 0Х перпендикуляре А 1 А 2 , а прямые А 2 А х и А 3 А х станут располагаться на общем к оси 0Z перпендикуляре А 2 А 3 . Эти прямые в дальнейшем будем называть соответственно вертикальной и горизонтальной линиями связей.
Следует отметить, что при переходе от аппарата проецирования к эпюру проектируемый объект исчезает, но вся информация о его форме, геометрических размерах и месте его положения в пространстве сохраняются.
А (x A , y A , z A x A , y A и z A в следующей последовательности (рис. 2). Эта последовательность называется методикой построения эпюра точки.
1. Ортогонально вычерчиваются оси OX, OY и OZ.
2. На оси OX x A точки А и получают положение точки А х .
3. Через точку А х перпендикулярно оси OX
А х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y A точки А А 1 на эпюре.
А х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z A точки А А 2 на эпюре.
6. Через точку А 2 параллельно оси OX проводится горизонтальная линия связи. Пересечение этой линии и оси OZ даст положение точки А z .
7. На горизонтальной линии связи от точки А z по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y A точки А и определяется положение профильной проекции точки А 3 на эпюре.
Характеристика точек
Все точки пространства подразделяются на точки частного и общего положений.
Точки частного положения. Точки, принадлежащие аппарату проецирования, называются точками частного положения. К ним относятся точки, принадлежащие плоскостям проекций, осям, началу координат и центрам проецирования. Характерными признаками точек частного положения являются:
Метаматематический – одна, две или все численные значения координат равны нулю и (или) бесконечности;
На эпюре – две или все проекции точки располагаются на осях и (или) располагаются в бесконечности.
Точки общего положения. К точкам общего положения относятся точки, не принадлежащие аппарату проецирования. Например, точка А на рис. 1 и 2.
В общем случае численные значения координат точки характеризует ее удаление от плоскости проекций: координата х от плоскости π 3 ; координата y от плоскости π 2 ; координата z от плоскости π 1 . Следует отметить, что знаки при численных значениях координат указывают на направление удаления точки от плоскостей проекций. В зависимости от сочетания знаков при численных значениях координат точки зависит в каком из октанов она находится.
Метод двух изображений
На практике, кроме метода полного проецирования используют метод двух изображений. Он отличается тем, что в этом методе исключается третья проекция объекта. Для получения аппарата проецирования метода двух изображений из аппарата полного проецирования исключается профильная плоскость проекций с ее центром проецирования (рис. 3). Кроме того, на оси 0Х назначается начало отсчета (точка 0 ) и из него перпендикулярно оси 0Х в плоскостях проекций π 1 и π 2 проводят оси 0Y и 0Z соответственно.
В этом аппарате все пространство делится на четыре квадранта. На рис. 3 они обозначены римскими цыфрами.
Плоскости проекций считаются непрозрачными, а зритель всегда находится в I -ом квадранте.
Рассмотрим работу аппарата на примере проецирования точки А .
Из центров проецирования S 1 и S 2 выходят проецирующие лучи l 1 и l 2 . Эти лучи проходят через точку А и пересекаясь с плоскостями проекций образуют ее проекции:
- А 1 – горизонтальная проекция точки А ;
- А 2 – фронтальная проекция точки А .
Чтобы получить эпюр точки А (рис. 4), в аппарате проецирования (рис. 3) плоскость π 1 с полученной проекцией точки А 1 вращают по часовой стрелке вокруг оси 0Х , до совмещения её с плоскостью π 2 . Направление поворота плоскости π 1 показана на рис. 3 стрелками. При этом на эпюре точки полученной методом двух изображений остается только одна вертикальная линия связи А 1 А 2 .
На практике построение эпюра точки А (x A , y A , z A ) осуществляется по численным значениям ее координат x A , y A и z A в следующей последовательности (рис. 4).
1. Вычерчивается ось OX и назначается начало отсчета (точка 0 ).
2. На оси OX откладывается численное значение координаты x A точки А и получают положение точки А х .
3. Через точку А х перпендикулярно оси OX проводится вертикальная линия связи.
4. На вертикальной линии связи от точки А х по направлению оси OY откладывается численное значение координаты y A точки А и определяется положение горизонтальной проекции точки А 1 OY не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются ниже оси OX , а отрицательные выше.
5. На вертикальной линии связи от точки А х по направлению оси OZ откладывается численное значение координаты z A точки А и определяется положение фронтальной проекции точки А 2 на эпюре. Следует отметить, что на эпюре ось OZ не вычерчивается, а предполагается, что ее положительные значения располагаются выше оси OX , а отрицательные ниже.
Конкурирующие точки
Точки на одном проецирующем луче называются конкурирующими. Они в направлении проецирующего луча имеют общую для них проекцию, т.е. их проекции тождественно совпадают. Характерным признаком конкурирующих точек на эпюре является тождественное совпадение их одноименных проекций. Конкуренция заключается в видимости этих проекций относительно наблюдателя. Говоря другими словами, в пространстве для наблюдателя одна из точек видима, другая – нет. И, соответственно, на чертеже: одна из проекций конкурирующих точек видима, а проекция другой точки – невидима.
На пространственной модели проецирования (рис. 5) из двух конкурирующих точек А и В видима точка А по двум взаимно дополняющим признакам. Судя по цепочке S 1 →А→В точка А ближе к наблюдателю, чем точка В . И, соответственно, – дальше от плоскости проекций π 1 (т.е. z A > z A ).
Рис. 5 Рис.6
Если видима сама точка A , то видима и её проекция A 1 . По отношению к совпадающей с ней проекцией B 1 . Для наглядности и при необходимости на эпюре невидимые проекции точек принято заключать в скобки.
Уберем на модели точки А и В . Останутся их совпадающие проекции на плоскости π 1 и раздельные проекции – на π 2 . Условно оставим и фронтальную проекцию наблюдателя (⇩), находящегося в центре проецирования S 1 . Тогда по цепочке изображений ⇩ → A 2 → B 2 можно будет судить о том, что z A > z B и что видима и сама точка А и её проекция А 1 .
Аналогично рассмотрим конкурирующие точки С и D по видимости относительно плоскости π 2 . Поскольку общий проецирующий луч этих точек l 2 параллелен оси 0Y , то признак видимости конкурирующих точек С и D определяется неравенством y C > y D . Следовательно, что точка D закрыта точкой С и соответственно проекция точки D 2 будет закрыта проекцией точки С 2 на плоскости π 2 .
Рассмотрим, как определяется видимость конкурирующих точек на комплексном чертеже (рис. 6).
Судя по совпадающим проекциям А 1 ≡В 1 сами точки А и В находятся на одном проецирующем луче, параллельном оси 0Z . Значит сравнению подлежат координаты z A и z B этих точек. Для этого используем фронтальную плоскость проекций с раздельными изображениями точек. В данном случае z A > z B . Из этого следует, что видима проекция А 1 .
Точки C и D на рассматриваемом комплексном чертеже (рис. 6) так же находятся на одном проецирующем луче, но только параллельном оси 0Y . Поэтому из сравнения y C > y D делаем вывод, что видима проекция С 2 .
Общее правило . Видимость для совпадающих проекций конкурирующих точек определяется сравнением координат этих точек в направлении общего проецирующего луча. Видима та проекция точки, у которой эта координата больше. При этом сравнение координат ведется на плоскости проекций с раздельными изображениями точек.